Algèbre

Puissances

La puissance \(n\) d'un nombre \(a\) s'écrit

\(a^{n}\)

Lire : a exposant n ou, abusivement, a puissance n.

L'entier \(n\) est appelé l'exposant ; le nombre \(a\), la base.

Dans cette page, \(a\) et \(b\) désignent des bases (ce sont des nombres quelconques) ; \(n\) et \(p\), des exposants (ce sont des entiers relatifs).

Définition

Si \(n>0\) :
\(a^n=\underbrace{a\times a\times a\times\dots\times a}_{n\ \text{facteurs égaux à}\ a}\)
Si \(n=0\) :
\(a^0=1\)
Si \(n<0\) et \(a\neq0\) :
\(\displaystyle a^n=\frac{1}{a^{-n}}\)

Identités

Puissance zéro, puissance un, puissance moins un :
\(\displaystyle a^0=1\;;\qquad a^1=a\;;\qquad a^{-1}=\frac{1}{a}\)
Produit et quotient de deux puissances de même base :
\(\displaystyle a^na^p=a^{n+p}\;;\qquad\frac{a^n}{a^p}=a^{n-p}\)
Inverse d'une puissance :
\(\displaystyle\frac{1}{a^n}=a^{-n}\)
Puissance d'une puissance :
\((a^n)^p=a^{np}\)
La puissance est compatible avec le produit, avec l'inverse et avec le quotient :
\(\displaystyle(ab)^n=a^nb^n\;;\qquad\left(\frac{1}{a}\right)^n=\frac{1}{a^n}\;;\qquad\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\)
Lionel Avon