Logique mathématique

L'implication
ou proposition conditionnelle

Considérons deux propositions \(P\) et \(Q\).

La proposition Si \(P\), alors \(Q\) est une implication.

Elle signifie chacune des choses suivantes :

\(P\) est appelée condition suffisante et \(Q\) est appelée condition nécessaire.

Dans l'implication, ni \(P\) ni \(Q\) ne sont affirmés.

Cette implication s'écrit aussi \(P\) implique \(Q\).

(Cette implication peut s'écrire formellement \(P\Rightarrow Q\). Mais cette écriture, souvent utilisée à tort à la place d'une déduction, n'est jamais nécessaire au lycée.)

Contraposée

La contraposée de l'implication Si \(P\), alors \(Q\) est l'implication Si non \(Q\), alors non \(P\).

Une implication et sa contraposée ont toujours la même valeur de vérité : elles sont équivalentes.

Une implication et sa contraposée expriment la même idée.

Réciproque

La réciproque de l'implication Si \(P\), alors \(Q\) est l'implication Si \(Q\), alors \(P\).

Une implication et sa réciproque ont des valeurs de vérités a priori indépendantes.

Une implication et sa réciproque expriment deux idées différentes.

Négation

La négation de l'implication Si \(P\), alors \(Q\) est la proposision \(P\) et non \(Q\).

Lionel Avon